\begin{exo}
Démontrer que :
\begin{questions}
\question $A_n^{n-1}=n!$
\begin{solution}
$A_n^{n-1}=\frac{n!}{(n-(n-1))!}=n!$.
\end{solution}
\question Soit $n$ un entier supérieur à 2. Montrer que $\displaystyle\sum_{p=0}^{n-2} \frac{n!}{p!}$ est un entier pair.
\begin{solution}
$\displaystyle\sum_{p=0}^{n-2} \frac{n!}{p!} = n(n-1) \displaystyle\sum_{p=0}^{n-2} \frac{(n-2)!}{p!}$ avec $n(n-1)$ pair et $\frac{(n-2)!}{p!}$ un entier (car $p\leq n-2$). Leur demander également une démonstration par récurrence.
\end{solution}
\question Pour tout $n\in \N$ et $p\in\N$ tel que $0\leq p\leq n$, on a $C_n^p=C_n^{n-p}$.
\begin{solution}
$C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}=\frac{n!}{(n-(n-p))!(n-p)!}=C_n^{n-p}$. 
\end{solution}
\question Pour tout $n\in \N$ et $p\in\N$ tel que $0\leq p\leq n$, on a $C_n^p=\frac np C_{n-1}^{p-1}$.
\begin{solution}
$C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!} = \frac np \frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}=\frac np \frac{(n-1)!}{(p-1)!((n-1)-(p-1))!}=\frac np C_{n-1}^{p-1}$. 
\end{solution}
\question $C_n^2= 1+2+\ldots+(n-1)$.
\begin{solution}
$C_n^2= \frac{n(n-1)}{2}=1+2+\ldots+(n-1)$.
\end{solution}
\question Soit $n\geq 1$, montrer que pour $i\geq1$, $iC_n^i = nC_{n-1}^{i-1}$
\begin{solution}
$iC_n^i = i\frac{n!}{(n-i)!i!} = n\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!} = n C_{n-1}^{i-1}$
\end{solution}
\question Soit $n\geq 2$, montrer que pour $i\geq2$, $i(i-1)C_n^i = n(n-1)C_{n-2}^{i-2}$
\end{questions}
\begin{solution}
$i(i-1)C_n^i =  n(n-1)\frac{(n-2)!}{(i-2)!(n-i)!} = n(n-1)C_{n-2}^{i-2}$
\end{solution}
\end{exo}